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Symmetrie der Tasten
von
Herbert Henck
Einleitung
Die erste Form der Anordnung
Die zweite Form der Anordnung
Die dritte Form der Anordnung und Resümee
Die doppelte Proportion 5 : 7 – Eine Ergänzung
Anmerkungen
Einleitung
Weiß man um den Zusammenhang unserer Klaviatur mit den Modi der Kirchen-
tonarten, deren Ursprünge weit in die vorchristliche Antike zurückreichen, und weiß auch um die neuzeitliche
Ergänzung fehlender Halbtonschritte durch Obertasten in der ursprünglichen Untertastenreihe mit dem Ziel einer vollständigen Chromatik, so verwundert doch, dass sich trotz der komplexen und langen
Entstehungsgeschichte der Klaviatur zwei Symmetrien in ihr finden lassen.[1] Diese Symmetrien – die eine mit der Untertaste d, die andere mit der Obertaste gis als Spiegelachse – sind zwar nur in seltenen Ausnahmefällen musikalisch zum Tragen gekommen, doch scheint mir die Frage von Interesse, ob es sich bei diesen Symmetrien um einen glücklichen Zufall, um Theorie und Absicht der Klavierbauer oder um eine mathematische Notwendigkeit handelt, die gar keine Alternative zulässt.
Untersucht wird daher die Frage, ob eine veränderte Stellung (Permutation) der zwei Halbtonschritte in der Untertastenreihe zu vergleichbaren oder ähnlichen Symmetrien wie denen der heutigen
Klaviatur führt. Alle anderen Merkmale der Klaviatur werden dagegen übernommen, also die 12 Töne und Tasten bis zur ersten Tonwiederholung, die Aufteilung in 7 Unter- und 5 Obertasten oder die Eigenheit,
dass zwei neben-
einanderliegende Untertasten einmal einen Halbtonschritt, ein andermal einen Ganztonschritt bedeuten können, eine Eigenheit, die ebenfalls auf die Modi zurückgeht und sich in
übertragener Form in unserer traditionellen Notation wiederholt.[2] Dass die im Rahmen dieser Untersuchung zutage tretenden Tastensysteme nur noch sehr bedingt mit den historischen Kirchentonarten in Verbindung stehen, ist begreiflich. Ansonsten sei noch einmal gesagt, dass unter der behandelten Symmetrie jene Spiegelung der Tastenanlage um eine Achse verstanden wird, die entsteht, sobald ein mit der Achse beginnendes simultanes chromatisches Aufwärts- und Abwärtssteigen stets auf dieselbe Tastengattung trifft, also auf zwei Unter- oder zwei Obertasten.
Sieht man, dass die 5 Obertasten der Klaviatur in ihrer heutigen Form sich in zwei Gruppen zu 2 + 3 Tasten gliedern, so gilt diese Addition auch immer in umgekehrter Richtung, da die Folge der
Obertasten davon abhängt, wo man beginnt und welche Richtung man einschlägt. Anstelle von 2 + 3 könnte es ebenso heißen 3 + 2 oder angesichts der beiderseitigen Erweiterung der Oktave … 3 + 2 + 3 +
2 + 3 + 2 …, wodurch sich das vertraute Klaviaturmuster ergibt. In dieser Zahlenstruktur scheinen die Symmetrien auch ohne die Untertasten schon durch, da man eine beliebige Zahl auswählen kann und
dann gleichzeitig nach links und rechts fortschreitend immer auf identische Größen trifft. Liegt die eine Symmetrie dann in der Mitte der „2“ zwischen den beiden Obertasten auf der Untertaste d,
so ist die mittlere Taste in der „3“ bereits selbst eine Spiegelachse als Obertaste gis.
In den folgenden Abbildungen sind die Töne der chromatischen Skala nur anfangs benannt und später dann von 1 bis 12 nummeriert, da es für die behandelten Fragen letztlich ohne Belang ist,
mit welchem Ton oder welcher Taste man beginnt. Entscheidend ist, dass die Chromatik der Töne sich in den Tasten systematisch abbildet und akustische und mechanische, ton- und tastenweise Fortschreitung
einander entsprechen.
Auch wenn die Stellung der Obertasten von den Untertasten und den dort vorliegenden Intervallen bestimmt wird, so entwickeln die Obertasten durch ihre Form und Farbe doch eine Autonomie, die
sie dem bloßen Reflex entziehen, wie eine eigenständige Anlage mit eigenen Gesetzen wirken und ihrerseits Rückschlüsse auf die Untertasten erlauben. Damit die Gruppen von Obertasten überhaupt als
Gruppen sichtbar werden können und ihre Gestalten sich deutlich voneinander abheben – was ja eine durchaus wichtige Eigenschaft für die Spieler ist –, werden zwei Regeln erkennbar:
1.) Nach jeder Obertaste folgt eine Untertaste; oder anders gesagt: Nie stehen zwei Obertasten unmittelbar nebeneinander, sondern sie sind immer getrennt. Dies bedeutet akustisch, dass es keine kleinen Sekunden oder große Septimen und in der heutigen Klaviaturform auch keine Tritoni zwischen zwei Obertasten gibt. Die Erklärung ist in der komplementären, lückenfüllenden Funktion der Obertasten zu suchen.
2.) Ebenso stehen vor und nach jeder Obertastengruppe jeweils mindestens 2 Untertasten, so dass die Abstände zwischen den Gruppen auch mindestens doppelt so groß sind wie innerhalb der
Gruppen. Die von den Untertasten bewirkten Abstände gliedern die Obertasten in Gruppen, die erst hierdurch der optischen und haptischen Wahrnehmung als Einheiten zugänglich werden und sich von dem
Instrumentalisten schnell und sicher auffinden lassen.
Diese zwei Bedingungen bewirken, dass sich bei sieben zur Verfügung stehenden Untertasten pro Oktave lediglich drei Gruppierungen von je fünf Obertasten bilden lassen (7 Untertasten + 5
Obertasten = 12 Tasten oder Halbtonschritte pro Oktave), nämlich:
Stellt man die Möglichkeiten der Fünferbildung systematisch zusammen, erhält man
Die zweite Hälfte entsteht aus der rückwärts gelesenen ersten Hälfte und kann daher, wie oben gezeigt, entfallen, so dass nur 3 Möglichkeiten übrigbleiben, von denen die unter a) genannte
unserer bekannten Obertasten-Struktur entspricht.
Mathematisch scheinen sich noch weitere Aufteilungen der 5 Obertasten anzubieten (etwa 1 + 1 + 3 oder 2 + 2 + 1), doch sobald man mehr als 2 Obertastengruppen in einer Oktave bildet, reicht die
Menge von 7 Untertasten nicht mehr aus, jeder Obertastengruppe beidseitig mindestens 2 Untertasten folgen zu lassen: Bei 1 + 1 + 3 oder bei 2 + 2 + 1 Obertasten würde man beidemale mindestens 8
Untertasten benötigen. Die Anzahl der Untertasten, die zur Gliederung zur Verfügung steht, beschränkt somit zugleich die Anzahl der Obertastengruppen.
Die erste Form der Anordnung
Die erste Abbildung zeigt die Gestalt der uns vertrauten Klaviatur:
Abb. 1
Zum Verständnis dieser und der folgenden Abbildungen sei bemerkt, dass die Formen und Abstände der Tasten stilisiert sind und somit die Verfahren der Klavierbauer vernachlässigen,
durch Winkelschnitte oder feinste Breitenunterschiede der Tasten die Bespielbarkeit der Klaviatur zu verbessern. Symmetrieachsen sind mit x (weiße Untertasten) oder y (schwarze Obertasten)
unterhalb der Tasten gekennzeichnet.
Auf die beiden anderen Möglichkeiten sei nachfolgend näher eingegangen. Gemeinsam ist ihnen, dass sie nicht mehr von einem geschichtlich überlieferten Modus ausgehen,
sondern von den Obertasten, die nunmehr auf umgekehrtem Wege zwei Modi erzeu-
gen. Würde man diese zwei neuen siebentönigen Modi wie üblich auf die
Untertastenreihe legen, ergäben sich folgende Skalen (Abb. 2 und 3):
c cis d dis e f fis g gis a ais h (Obertasten hochgestellt)
und
c cis d dis e f fis g gis a ais h
Die zweite Form der Anordnung
Eine zweite Möglichkeiten besteht darin, die fünf Obertasten jeweils in Gruppen von 1 + 4 aufzuteilen, wobei wiederum auch das Umgekehrte, nämlich 4 + 1 richtig wäre.
Ins Innere der Vierergruppe kämen 3 Untertasten (5, 6, 7), vor und hinter dieselbe Gruppe jeweils 2 Untertasten (3-4 bzw. 1-2) zu stehen, die zugleich den Abstand zu
der vorausgehenden oder folgenden „Einergruppe“ festlegen:
Abb. 2
Schnell erkennt man in der Abbildung, dass auch bei dieser Anordnung Symmetrien zustande kommen, deren Achsen erneut mit x und y bezeichnet sind. Wie in der
traditionellen Klaviaturform ist die Achse einmal eine Ober-, einmal eine Untertaste, und dort wie hier bilden die beiden Achsen das Intervall eines Tritonus (sechs
Halbtonschritte), der die Oktave halbiert.
Die dritte Form der Anordnung und Resümee
Abb. 3
Auch die dritte Möglichkeit, die Obertasten zu gruppieren, führt, wie die Abbildung zeigt, zu den bereits beschriebenen Symmetrien, sowohl im Hinblick auf die Tasten-
gattungen als auch hinsichtlich des Tritonus-Intervalls. Man sollte die zwei Unter-
tastenpaare, die in Abb. 1 und 2 zu sehen sind, hier nicht vermissen, denn es geht um Halbtonschritte; und liegen drei Untertasten wie in Abb. 3 nebeneinander, so
hat man auch hier 2 aufeinander folgende Halbtonschritte zwischen der 6. und 7. sowie zwischen der 7. und 8. (= 1.) Stufe.
Aufgrund der Übereinstimmungen und erkennbaren Gesetzmäßigkeit lässt sich zumindest sagen, dass die Symmetrien im Aufbau unserer Klaviatur nicht irgendwie
Absicht ihrer Erbauer gewesen sein können und ihnen primär keine musikalische Aufgabe zukam, sondern dass sie durch die spezifischen Vorgaben der Tastenmengen
bewirkt wurden. Der Ausbau der Kirchentonarten zur Chromatik stand ganz im Vordergrund, und somit sind die Symmetrien ein Automatismus, der auch unabhängig
von Tasten und Tönen existiert und die Möglichkeiten der Anordnung von Elementen begrenzt. Dies erklärt vielleicht auch, warum der musikalische Gebrauch dieser
Symmetrien, soweit mir bekannt ist, erst in der Moderne stattfand.[3]
Dass den vorstehenden Untersuchungen fünf Obertasten zugrunde gelegt wurden, war bereits eine Folge des Umstandes, dass in der Untertastenreihe an fünf Stellen
Ganztonschritte vorlagen, die sich durch fünf Obertasten oder Halbtonschritte zu 7 + 5 = 12 chromatischen Tönen pro Oktave ausfüllen ließen. Unter der Voraus-
setzung, dass nicht mehr als sieben Untertasten zur Verfügung stehen, und unter Beachtung der Regeln, die sich von der traditionellen Klaviatur abnehmen lassen,
stellten sich die Symmetrien stets zwangsläufig ein und erwiesen sich als unabhängig von der Gruppierung der fünf Obertasten. Diese Gruppierungen konnten schließlich
nur auf drei Arten stattfinden, nämlich als 2 + 3, als 1 + 4 oder als 5 + 0, wobei die Umkehrung der Summanden ohne Bedeutung ist.
Nähme man an, dass in der Untertastenreihe nur ein einziger Ganztonschritt vorläge, käme es nur zu einer einzigen ergänzenden Obertaste pro Oktave; andererseits müssten
dann alle übrigen Halbtonschritte auf den Untertasten vorhanden sein, was deren Zahl auf 11 Töne (Tasten) pro Oktave erhöhen würde (10 Halbtonschritte + 1 Ganzton-
schritt). Diese Form der Anordnung würde allerdings infolge der 11 nebeneinander-
liegenden Untertasten dem Bedürfnis zuwiderlaufen, Oktaven mit einer
Hand allein bequem anschlagen zu können. – Eine numerische Ausgeglichenheit zwischen Unter- und Obertasten (je sechs Ganztonschritte) würde dagegen die Oktave
enger werden lassen, als sie heute ist. Der große Nachteil dieser Form wäre jedoch neben zu kleinen Abständen für die Hände eine zu große Unübersichtlichkeit des
Tastenbildes, da ein homogenes Muster entstünde, welchem sich ein bestimmter Ton nicht mehr mit Sicherheit entnehmen ließe.
Die doppelte Proportion 5 : 7 – Eine Ergänzung
Angeregt durch vorstehende Beobachtungen suchte ich nach weiteren numerischen Zusammenhängen zwischen Unter- und Obertasten. Hierbei fiel mir insbesondere die
Proportion 5 : 7 auf, da man ihr in der herkömmlichen Klaviatur in doppelter Form begegnet. Denn zum einen bezeichnet dieses Verhältnis jenes der Obertasten zu den
Untertasten, zum anderen ist 5 : 7 auch die Proportion von zwei aufeinanderfolgenden, sich zur Zwölfzahl (Oktave) ergänzenden Abschnitten der chromatischen Skala. Sind
im ersten Fall die Tasten ihrer traditionellen Anlage entledigt und rein mengenmäßig verglichen, so durchdringen sie sich im andern Fall hoquetusartig unter Beibehaltung
ihrer spezifisch symmetrischen Anordnung. Die folgende Abbildung macht diesen doppelten Bezug kenntlich.
Abb. 4
Der erste Fall, in dem die Mengen der Ober- und Untertasten pro Oktave verglichen werden, ist hinlänglich bekannt und bedarf keiner weiteren Erklärung; die Proportionen
lassen sich in Abb. 4 von den auf die Tastenoberflächen geschriebenen Zahlen und Tonnamen ablesen. Der zweite Fall wird spätestens deutlich, sobald man sich eine Trennlinie (rot in vorstehender Abbildung [4]) zwischen allen weißen, nur einen Halbtonschritt ausmachenden Tastenpaaren vorstellt, also jeweils zwischen e und f bzw. h und c. Diese Unterteilung hebt nicht nur die beiden Symmetrien in der
Tastenanlage (mit d als x-Achse, gis als y-Achse) hervor, sondern man erkennt auch, dass diese zwei Tastengruppen die autonomen, sich nirgends überlagernden Kerne der
Symmetrien bilden, die ebenfalls im Verhältnis von 5 : 7 zueinander stehen. Durch die Zahlen in der obersten Zeile von Abb. 4 ist dies verdeutlicht: Der erste Abschnitt hat
die fünf Töne c-cis-d-dis-e, der zweite die sieben Töne f-fis-g-gis-a-b-h. Die beiden Obertastengruppen sind dabei auf dieselbe Art in und zwischen Untertasten eingebettet:
Nach links und rechts schließt an jede Obertastengruppe eine Untertaste an, während im Gruppeninnern je eine Untertaste zwischen zwei aufeinanderfolgenden Obertasten
steht. Für beide Abschnitte ließe sich daher als Regel ableiten:
T = O + (O + 1)
oder verkürzt
T = 2 O + 1
T = Tastensumme des symmetrischen Abschnitts; O = Obertasten-Anzahl
Auch hier macht die Rechnung jedoch nur Sinn, solange 12 als Tastensumme, also die große Septime, nicht überschritten wird.
In Abb. 2 hätte man 2 Obertastengruppen, bestehend aus 1 + 4 Tasten, so dass
man 1 + 2 = 3 sowie 4 + 5 = 9 erhielte, was zusammengenommen die Oktave ergibt: 3 + 9 = 12. Und bei 5 Obertasten (Abb. 3) hätte man:entsprechend 5 + 6 = 11 sowie
bei einer einzigen Untertaste 0 + 1 = 1, so dass sich auch hier als Summe 11 + 1 = 12
ergibt. Bei einer Gruppe aus nur 1 Untertaste kann man natürlich keine rote Trennlinie einzeichnen, doch wäre diese Untertaste insgesamt rot zu färben, da nun sie die zwei
benachbarten Elfergruppen links und rechts als Symmetrieachse trennt.
Die drei Möglichkeiten seien nochmals zusammengestellt:
1.) 5 + 7 = 12 Tasten (Abb. 1; traditionelle Klaviatur)
2.) 9 + 3 = 12 Tasten (Abb. 2)
3.) 11 + 1 = 12 Tasten (Abb. 3)
Auch diese drei Additionen weisen auf eine mathematische Notwendigkeit hin, da ohne Wiederholung sämtliche Paare aus ungeraden Zahlen benutzt werden, die zwischen 1
und 12 liegen und als Summe 12 bilden. Dass diese Paare jedoch stets nur aus den ungeraden Summanden 1, 3, 5, 7, 9 und 11 bestehen, ist auf die Symmetrie der Tasten
zurückzuführen, die jeweils mit einer einzigen Tasten als Achse der Symmetrie beginnt (d oder gis) und sich dann nach oben und unten gleichzeitig durch Hinzufügen eines
Tastenpaares der komplementären Gattung erweitert (1 + 2 + 2 + 2 + 2).
*
Schließlich sei noch eine Übereinstimmung der Tastenanlage mit der Gestalt der Hand erwähnt, welche, zur Faust geschlossen, von dem Auf und Ab der nun hervortretenden
Fingerknöchel und den sich anschließenden Vertiefungen ausgeht. Diese bekanntlich als Eselsbrücke verwendete Ordnung klärt so sinnfällig wie schnell, welche Monate im
heute gebräuchlichen Gregorianischen Kalender 31 und welche 30 oder weniger Tage haben. Anstelle der Knöchel, die natürlich schneller als jede Klaviatur zur Hand sind,
könnte man mit demselben Ergebnis die gewöhnliche Tastenanlage benutzen, wenn in aufsteigender Weise die längeren Untertasten für die längeren Monate, die kürzeren
Obertasten für die kürzeren Monate stehen.
1.) f = Januar; 2.) fis = Februar; 3.) g = März; 4.) gis = April; 5.) a = Mai; 6.) ais = Juni; 7.) h = Juli; 8.) c = August; 9.) cis = September; 10.) d = Oktober; 11.) dis = November; 12.) e = Dezember; [13. = 1. = f usw.]
Blau: Untertasten und Monate mit 31 Tagen
Rot: Obertasten und kürzere Monate mit weniger als 31 Tagen
Da beide Muster, also das der Klaviatur und wie das des Gregorianischen Kalenders, auf die Zeit der Renaissance zurückzugehen scheinen, liegt hier möglicherweise, mehr
vermag ich nicht zu sagen, ein Zusammenhang vor.
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Eine persönliche und gewiss nicht zu überschätzende Bemerkung sei hier ans Ende gestellt, denn ich weiß aus den vorstehend ausgebreiteten Beobachtungen und
Berechungen keinerlei Schlüsse zu ziehen, und so muss ich es einstweilen bei der Beobachtung als solcher bewenden lassen. Dass sich diese Art von Beobachtung indes
nur mittelbar auf die Musik bezieht, die auf Klaviaturen zur Ausführung kommt, ist mir gleichwohl hinreichend bewusst. Die hier behandelte Symmetrie ist vornehmlich eine
sichtbare der Tasten, nicht eine hörbare der Töne, und transponiert man eine Tastensymmetrie, wird schnell deutlich, dass die Wahrung der Intervallstruktur oft sehr
rasch zu Unterschieden in den Tastengattungen führt. Eine Übertragung der Symmetrien auf andere Instrumente würde die Tastensymmetrie sogar nahezu hinfällig machen.
Auch vermag ich nicht zu sagen, ob das zweimalige Auftreten der Proportion 5 : 7 sich lediglich einem Zufall verdankt oder auch eine Absicht einstiger Konstrukteure war.
Beides schiene mir aber so erstaunlich wie bewundernswert. Zwar vermute ich, dass die Vorgaben der Diatonik eindeutig waren und die Obertastenreihe und ihre
Gliederung eine mathematisch notwendige Konsequenz waren, doch wären die Ursachen für diese Notwendigkeit beidemale wohl in der Diatonik selbst zu suchen.
Anmerkungen
[1] Vergleiche hierzu den zweiteiligen Aufsatz Klaviaturen. Gestalt und
Bespielbarkeit, wo besonders der erste Abschnitt, Die Klaviatur als chiffrierte Chromatik, diese Symmetrien behandelt. Hier wird auch auf ihre musikalische
Umsetzung durch die Komponisten Bernhard Ziehn (1845–1912) und Kyle Gann (*1955) sowie die mehr pädagogische Nutzung durch den Pianisten und Musikologen Helmut Karl Heinz Lange (*1928) hingewiesen.
[2] Wie Anm. 1; hier der Abschnitt Klaviatur und Notation. Zusammenhänge von
Bespielbarkeit und Lesbarkeit.
[3] Wie Anm. 1.
[4] Dies sind auf einer heutigen Klaviatur (nicht jener in den Abbildungen) die einzigen
beiden geraden, unverwinkelten Linien zwischen zwei Tasten (e-f und h-c), jeweils e und h an der rechten Tastenkante, f und c an der linken.
Entstanden in Deinstedt im Mai 2008, verschiedene Nachträge
Erste Eingabe ins Internet: Dienstag, den 27. Mai 2008
Letzte Ãnderung: Donnerstag, 1. Juli 2010
© 2008-2010 Herbert Henck
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